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referenciareferencia
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tituloVisão sistemica
descRelações
 

Freqüentemente queremos comparar ou contrastar vários elementos de um conjunto, quer para reuni-los segundo uma determinada característica, quer para agrupar aqueles que são semelhantes. A estrutura matemática usada para descrever este tipo de organização de conjuntos é a teoria das relações.

Cenário
Por exemplo, se ouvirmos que duas pessoas, Henriqueta e Horácio, se relacionam, entendemos que existe algum laço afetivo entre eles – que eles distinguem-se dos demais pares ordenados de pessoas por haver uma relação (são parentes, namorados, amigos, etc.) que Henriqueta e Horácio verificam. O análogo matemático é distinguir determinados pares ordenados de objetos dos demais, porque seus elementos satisfazem alguma relação que os componentes dos demais pares, em geral, não satisfazem.

 

   1. Produto Cartesiano:

Consideremos dois conjuntos A e B. Chama-se "produto cartesiano de A por B", (AXB) o conjunto de todos os pares ordenados (a , b) onde a pertence a A e b pertence a B.

Por exemplo: Se A={1,2} e B={2,3} então AXB={(1,2),(1,3),(2,2),(2,3)}.

    * Se estivermos interessados na relação de igualdade, então (2,2) é o único par que se distinguirá no produto AXB, isto é, o único par ordenado cujas componentes são iguais.

    * Se estivermos interessados na propriedade do primeiro número ser menor do que o segundo, escolheremos os pares (1,2) , (1,3) e (2,3) como os pares ordenados de AXB que se distinguem dos demais por apresentarem tal propriedade.

 

   1. Definição de Relação:

Chama-se "relação de A em B" a todo subconjunto do produto cartesiano AXB.

Em particular, uma relação de um conjunto A no mesmo conjunto A é chamada "relação em A".

Normalmente, uma relação é definida através da descrição da propriedade característica de seus pares.

    * No exemplo acima, a relação de igualdade de A em B é o conjunto unitário formado pelo par (2,2).

    * Ainda, no exemplo acima, a relação constituída pelos pares que apresentam a propriedade do primeiro número ser menor do que o segundo é o conjunto formado pelos pares (1,2) , (1,3) e (2,3).

    * Uma relação em A={1,2} pode ser o conjunto de todos os pares tais que o primeiro número é maior do que o segundo. Neste caso, tal relação será o conjunto unitário constituído do par ordenado (2,1).

 

   1. Propriedades das Relações:

Consideremos uma relação R num conjunto A . Então:

    * R Reflexiva significa que todo elemento de A está relacionado consigo mesmo.

    * R Simétrica significa que se a está relacionado com b então b está relacionado com a.

    * R Anti-Simétrica significa que se a está relacionado com b e b está relacionado com a, então a=b.

    * R Transitiva significa que se a está relacionado com b e b está relacionado com c, então a está relacionado com c.

 

Por exemplo, considere a relação "menor ou igual" (£ ) no conjunto dos números naturais. Esta relação é reflexiva porque para qualquer número natural x, x £ x é verdadeira. Também é uma relação transitiva porque para quaisquer números naturais x, y e z , se x £ y e y £ z então x £ z . No entanto, "menor ou igual" não é uma relação simétrica ; 3 £ 4 não implica 4 £ 3. De fato, para quaisquer números naturais, se x £ y e y £ x , então x = y. Esta última característica é descrita dizendo-se que "menor ou igual" é uma relação anti-simétrica.

 

Observe que uma relação pode ser simétrica e não ser anti-simétrica, ser anti-simétrica e também simétrica ou não ser nenhuma das duas !

 

   1. Relações de Ordem Parcial

      Uma relação em um conjunto A que seja reflexiva, anti-simétrica e transitiva é chamada de relação de ordem parcial.

      

   2. Relações de Equivalência:

      Uma relação num conjunto A que seja reflexiva, simétrica e transitiva, é chamada relação de equivalência.

      

      As relações de equivalência agrupam elementos que têm características semelhantes ou compartilham da mesma propriedade.

      

      Pode-se ilustrar um aspecto importante de uma relação de equivalência em um conjunto, se observarmos o conjunto S, dos alunos de uma classe e a relação "x senta na mesma coluna que y". Se indicarmos, através desta relação, todos os alunos de S que se relacionam com os outros, teremos o conjunto S formado pelos subconjuntos correspondentes a cada coluna.

      Desta forma, cada relação de equivalência particiona o conjunto no qual é definida. Os subconjuntos que formam esta partição, normalmente chamados de blocos da partição, são formados pelo grupamento dos elementos que se relacionam, como no exemplo acima.

      

   3. Classes de Equivalência:

Seja R uma relação de equivalência em um conjunto S e x um elemento qualquer de S. O conjunto de todos os elementos de S que se relacionam a x é chamado de classe de equivalência de x.

 

Por exemplo: no caso da relação R dada por "x senta na mesma coluna que y", suponhamos que João, Carlos, José, Júlia e Maria sentem todos na coluna 3. Então a classe de equivalência de João é o conjunto: {João, Carlos, José, Júlia, Maria}. Além disso, esta é ,também, a classe de equivalência de Carlos, a classe de equivalência de José, a classe de equivalência de Júlia, a classe de equivalência de Maria. Isto é, pode haver mais de um nome para uma dada classe de equivalência.
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tituloelemento 2
descdescrição do elemento 2